На отрезке АВ отмечена произвольная точка М, отличная от А и В. С одной стороны от прямой АВ выбрана точка С, а с другой — точки D и E такие, что треугольники АВС, АМD и МВЕ являются равносторонними. Обозначим через P, Q, R точки пересечения медиан треугольников АВС, АМD и МВЕ соответственно. Доказать, что: а) треугольник PQR — равносторонний, б) точка пересечения медиан треугольника PQR лежит на отрезке АВ.
а) Обозначим за T точку пересечения прямых AQ и BR. Четырёхугольник APBT является ромбом с углами 60° и 120° при вершинах А и Р, треугольники АРТ и ВРТ равносторонние. Заметим, что 
и 
поэтому 
Следовательно, QT = BR, PT = PB и треугольники QTP и RBP равны по углам 
и парам прилегающих к ним сторон. Кроме того, угол между соответственными сторонами PT и PB тоже равен 60°, значит, треугольник QTP получается из треугольника RBP поворотом относительно вершины Р на 60° по часовой стрелке. Следовательно, стороны QP и RP треугольника PQR равны и угол QPR между ними составляет 60°, значит, оставшиеся два угла также равны 60°, треугольник PQR — равносторонний.
б) Заметим, что углы PQR и PTR равны 60°, поэтому точка Q лежит на описанной окружности треугольника PTR. Следовательно, описанные окружности треугольников PTR и PQR совпадают. Обозначим точку пересечения медиан треугольника PQR за S, она является и центром описанной окружности этого треугольника, совпадающей с описанной окружностью треугольника PTR. Значит, точка S лежит на серединном перпендикуляре AB к хорде РТ данной окружности, что и требовалось доказать.