РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 5571 Добавить в вариант

Известно, что единственным решением уравнения

$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби =\arcctg2 плюс \arcctg5 плюс \arcctg13 плюс \arcctg34 плюс \arcctg89 плюс \arcctg левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби правая круглая скобка$

является натуральное число. Найдите его.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим уравнение:

$\arcctg a минус \arcctg b=\arcctg y .$

Пусть $альфа =\arcctg a,$ $бета =\arcctg b$ Теперь

$y=\ctg левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = дробь: числитель: 1 плюс \ctg альфа \ctg бета , знаменатель: \ctg бета минус \ctg альфа конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс a b, знаменатель: b минус a конец дроби$

$\arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 1 минус \arcctg 2 минус \arcctg 5 минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 2 плюс 1, знаменатель: 2 минус 1 конец дроби минус \arcctg 5 минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 3 минус \arcctg 5 минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 15 плюс 1, знаменатель: 5 минус 3 конец дроби минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 8 минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 104 плюс 1, знаменатель: 13 минус 8 конец дроби минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 21 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 814 плюс 1, знаменатель: 34 минус 21 конец дроби минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 55 минус \arcctg 89 равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 89 умножить на 55 плюс 1, знаменатель: 89 минус 55 конец дроби =\arcctg 144.$ $\arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 1 минус \arcctg 2 минус \arcctg 5 минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 2 плюс 1, знаменатель: 2 минус 1 конец дроби минус \arcctg 5 минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 3 минус \arcctg 5 минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 15 плюс 1, знаменатель: 5 минус 3 конец дроби минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 8 минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 104 плюс 1, знаменатель: 13 минус 8 конец дроби минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 21 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 814 плюс 1, знаменатель: 34 минус 21 конец дроби минус \arcctg 89 равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 55 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 89 умножить на 55 плюс 1, знаменатель: 89 минус 55 конец дроби =\arcctg 144.$ $\arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 1 минус \arcctg 2 минус \arcctg 5 минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 2 плюс 1, знаменатель: 2 минус 1 конец дроби минус \arcctg 5 минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 3 минус \arcctg 5 минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 15 плюс 1, знаменатель: 5 минус 3 конец дроби минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 8 минус \arcctg 13 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 104 плюс 1, знаменатель: 13 минус 8 конец дроби минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 21 минус \arcctg 34 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 814 плюс 1, знаменатель: 34 минус 21 конец дроби минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg 55 минус \arcctg 89 равносильно$
$равносильно \arcctg дробь: числитель: x, знаменатель: 14 конец дроби =\arcctg дробь: числитель: 89 умножить на 55 плюс 1, знаменатель: 89 минус 55 конец дроби =\arcctg 144.$