сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Пусть А  — точка пе­ре­се­че­ния двух окруж­но­стей. Из этой точки по каж­дой окруж­но­сти, по ча­со­вой стрел­ке, с по­сто­ян­ны­ми ско­ро­стя­ми на­чи­на­ют дви­гать­ся точки Х1 и Х2.Через один обо­рот обе точки вновь ока­зы­ва­ют­ся в A. До­ка­жи­те, что все­гда най­дет­ся такая не­по­движ­ная точка В, что всё время дви­же­ния вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство Х1В  =  X2B.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точке A, точки X1, X2 едут по окруж­но­стям так как опи­са­но в за­да­че. Можно счи­тать что нас ин­те­ре­су­ют в точ­но­сти все опи­сан­ные в за­да­че пары X1, X2 при ко­то­рых X_1 не равно q X_2 (в про­тив­ном слу­чае про­ве­рять не­че­го при любом вы­бо­ре P).

Если ра­ди­у­сы оди­на­ко­вы, то в силе сим­мет­рии точка P=A об­ла­да­ет ука­зан­ным в за­да­че свой­ством, и все по­ка­за­но. Рас­смот­рим слу­чай, когда ра­ди­у­сы раз­лич­ны. За­ме­тим, что в этом слу­чае най­дут­ся два такие мо­мен­та вре­ме­ни, что по­лу­ча­ю­щи­е­ся в эти мо­мен­ты от­рез­ки X_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X_2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка ,  X_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime \prime пра­вая круг­лая скоб­ка ,  X_2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime \prime пра­вая круг­лая скоб­ка не па­рал­лель­ны. Дей­стви­тель­но, до­ста­точ­но на­при­мер взять на боль­шей окруж­но­сти концы диа­мет­ра пер­пен­ди­ку­ляр­но­го O1O2. На­кло­ны в эти мо­мен­ты у X_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X_2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка и X_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime \prime пра­вая круг­лая скоб­ка , X_2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime \prime пра­вая круг­лая скоб­ка будут раз­лич­ны.

Возь­мем про­из­воль­ную точку P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка , от­лич­ную от A. Рас­смот­рим углы \angle P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_1 X_1, \angle P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_2 X_2, За­ме­тим, что раз­ность этих углов не за­ви­сит от того мо­мен­та, в ко­то­рый взяты точки X1, X2. Зна­чит, для не­ко­то­ро­го α вы­пол­не­но

\angle P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_1 X_1= альфа плюс \angle P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_2 X_2.

Рас­смот­рим те­перь раз­ность P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X_1 в квад­ра­те минус P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X_2 в квад­ра­те . По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ках P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_1 X_1,  P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_2 X_2 по­лу­ча­ем

P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X_1 в квад­ра­те минус P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X_2 в квад­ра­те =P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_1 в квад­ра­те плюс A O_1 в квад­ра­те минус 2 P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_1 умно­жить на A O_1 ко­си­нус \angle P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_1 X_1 минус
 минус P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_2 в квад­ра­те минус A O_2 в квад­ра­те плюс 2 P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_2 умно­жить на A O_2 ко­си­нус \angle P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_2 X_2.

Обо­зна­чим

r_1=A O_1,  r_2=A O_2, b_1=P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_1, b_2=P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_2,

от­ме­тим, что эти ко­эф­фи­ци­ен­ты не за­ви­сят от мо­мен­та, в ко­то­рый были взяты точки X_1, X_2. Тогда

 P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X_1 в квад­ра­те минус P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X_2 в квад­ра­те =b_1 в квад­ра­те плюс r_1 в квад­ра­те минус 2 r_1 умно­жить на b_1 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \angle P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_2 X_2 плюс альфа пра­вая круг­лая скоб­ка минус b_2 в квад­ра­те минус r_2 в квад­ра­те минус 2 r_2 умно­жить на b_2 ко­си­нус \angle P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_2 X_2=\text .

Рас­кры­вая ко­си­нус суммы по­лу­ча­ем для не­ко­то­рых чисел f, g, h, по­лу­чим

 P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X_1 в квад­ра­те минус P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X_2 в квад­ра­те =f плюс g синус \angle P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_2 X_2 плюс h ко­си­нус \angle P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_2 X_2.

Эта функ­ция (для каж­до­го вы­бо­ра P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка во­об­ще го­во­ря своя), пока \angle P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка O_2 X_2 про­хо­дит пол­ный обо­рот, или тож­де­ствен­но равна нулю, или равна нулю не более чем при двух зна­че­ни­ях этого угла (двух парах точек X1, X2). Но одно из них  — на­чаль­ное по­ло­же­ние точек, те­перь функ­ция либо имеет не более од­но­го ноля при до­пусло­вии X_1 не равно q X_2, либо тож­де­ствен­но равна нулю.

C дру­гой сто­ро­ны, она об­ра­ща­ет­ся в ноль при X_1 не равно q X_2 в точ­но­сти тогда когда P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к не­вы­рож­ден­но­му от­рез­ку X1X2. На­пом­ним, что най­дут­ся два такие мо­мен­та вре­ме­ни, что по­лу­ча­ю­щи­е­ся в эти мо­мен­ты от­рез­ки X_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X_2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка ,  X_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime \prime пра­вая круг­лая скоб­ка , X_2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime \prime пра­вая круг­лая скоб­ка не па­рал­лель­ны. Зна­чит, се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к ним имеют общую точку. Возь­мем имен­но ее в ка­че­стве P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка . Со­от­вет­ству­ю­щая ей функ­ция в эти два мо­мен­та вре­ме­ни об­ра­ща­ет­ся в ноль, при этом также вы­пол­не­но X_1 не равно q X_2. Сле­до­ва­тель­но, эта функ­ция  — тож­де­ствен­ный ноль. Но тогда такая P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка   — ис­ко­мая.