Докажите, что самый большой по площади квадрат, помещающийся в прямоугольный треугольник, имеет с ним общий угол.
Пусть треугольник имеет стороны 
сторону рассматриваемого квадрата обозначим через q.
Рассмотрим какой-нибудь квадрат в таком прямоугольном треугольнике. Заметим, что если квадрат не касается никакой стороны, то он не максимален, поскольку всегда можно рассмотреть квадрат с тем же центром, но чуть большей стороной. Если он касается ровно одной стороны (по точке или по стороне, не принципиально), то сдвинем его внутрь перпендикулярно этой стороны, получившийся, в силу доказанного, не максимален. Значит, и исходный такой же.
Если он касается двух сторон, то рассмотрим направление от обоих сторон (у каждой стороны возьмем вектор внутрь и рассмотрим его сумму). Сдвинем в этом направлении. Получим квадрат, не имеющий общих точек со сторонами квадрата. Но такой не максимален, следовательно, и исходный такой же.
Пусть он касается минимум трех сторон. Тогда концы одной из диагоналей лежат на разных сторонах треугольника. Если можно сдвинуть перпендикулярно этой диагонали, то треугольник не максимальный. Если нельзя, то концы другой диагонали также на сторонах.
Итак, если квадрат максимален, то все его вершины — на сторонах, следовательно, на одной из них — две вершины.
Если эта сторона — гипотенуза, то весь исходный треугольник представляет собой четыре фигуры: квадрат и три треугольника подобных исходному, в которых сторона равная стороне квадрата напротив угла треугольника. Площади этих треугольников относятся как квадраты отношений стороны квадрата к соответствующим сторонам треугольника, откуда
то есть
Если же все четыре вершины квадрата на сторонах треугольника, и хотя бы две из них на одном из катетов, то и на другом катете — две вершины. Весь исходный треугольник представляет собой три фигуры: квадрат и два треугольника подобных исходному, в которых сторона равная стороне квадрата напротив острого угла треугольника. Теперь
то есть
Поскольку у второго выражения знаменатель меньше, то только второе расположение соответствует максимальному квадрату.