РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5582 Добавить в вариант

Доказать, что для любого целого неотрицательного n выражение $3 в степени левая круглая скобка 6n правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 6n правая круглая скобка$ делится на 35.

Спрятать решение

Решение.

Действительно, дли любых целых неотрицательных m и любых чисел a и b получим

$a в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка минус b в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка = левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка плюс a в степени левая круглая скобка m минус 2 правая круглая скобка b плюс \ldots плюс a b в степени левая круглая скобка m минус 2 правая круглая скобка плюс b в степени левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

B частности, для четных $m=2 k:$

$a в степени левая круглая скобка 2 k правая круглая скобка минус b в степени левая круглая скобка 2 k правая круглая скобка = левая круглая скобка a в квадрате минус b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс a в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка k минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка b в квадрате плюс \ldots плюс a в квадрате b в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка k минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс b в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка .$

А значит, разность одинаковых четных степеней делится на сумму оснований (т. к. на сумму оснований делится $a в квадрате минус b в квадрате правая круглая скобка .$ Тогда $3 в степени левая круглая скобка 6 n правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 6 n правая круглая скобка =27 в степени левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка минус 8 в степени левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка$ делится на $27 плюс 8=35.$ Что и требовалось доказать.

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости, Алгебра: числа. Чётность / нечётность

Спрятать решение · Помощь