РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5583 Добавить в вариант

К двум внешне касающимся окружностям радиусом R и r построена секущая так, что окружности отсекают на ней три равных отрезка. Найдите длины этих отрезков.

Спрятать решение

Решение.

Пусть искомая длина равна 2x. Тогда $A B=4 x,$ откуда $A O_1= корень из: начало аргумента: R в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка$ и $B O_2= корень из: начало аргумента: r в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка .$ Проведем прямую O₂C параллельную отрезку AB. В треугольнике O₁O₂C:

$O_1 C= корень из: начало аргумента: O_1 конец аргумента O_2 в квадрате минус O_2 C в квадрате \Rightarrow корень из: начало аргумента: R в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: r в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 16 x в квадрате правая круглая скобка , \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$ $O_1 C= корень из: начало аргумента: O_1 конец аргумента O_2 в квадрате минус O_2 C в квадрате \Rightarrow$
$\Rightarrow корень из: начало аргумента: R в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: r в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 16 x в квадрате правая круглая скобка , \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

Умножив обе части равенства (3) на $корень из: начало аргумента: R в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: r в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка ,$ получаем

$R в квадрате минус r в квадрате = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 16 x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: R в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: r в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow корень из: начало аргумента: R в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: r в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка = дробь: числитель: R в квадрате минус r в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 16 x в квадрате правая круглая скобка конец дроби . \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Складывая (3) с (2), получаем

$2 корень из: начало аргумента: R в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 16 x в квадрате правая круглая скобка плюс дробь: числитель: R в квадрате минус r в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 16 x в квадрате правая круглая скобка конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow дробь: числитель: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате минус 16 x в квадрате плюс R в квадрате минус r в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка r плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 16 x в квадрате правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 2 левая круглая скобка R в квадрате плюс R r минус 8 x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 16 x в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 2 левая круглая скобка R левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка минус 8 x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R=r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 16 x в квадрате конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow корень из: начало аргумента: R в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 16 x в квадрате правая круглая скобка =R левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка минус 8 x в квадрате \Rightarrow левая круглая скобка R в квадрате минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате минус 16 x в квадрате правая круглая скобка = левая круглая скобка R левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка минус 8 x в квадрате правая круглая скобка в квадрате \Rightarrow$
$\Rightarrow R в квадрате левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате минус 16 R в квадрате x в квадрате минус x в квадрате левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате плюс 16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =R в квадрате левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате минус 16 R левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка x в квадрате плюс 64 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка .$ $2 корень из: начало аргумента: R в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 16 x в квадрате правая круглая скобка плюс дробь: числитель: R в квадрате минус r в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 16 x в квадрате правая круглая скобка конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow дробь: числитель: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате минус 16 x в квадрате плюс R в квадрате минус r в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка r плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 16 x в квадрате правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 2 левая круглая скобка R в квадрате плюс R r минус 8 x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 16 x в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 2 левая круглая скобка R левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка минус 8 x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R=r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 16 x в квадрате конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow корень из: начало аргумента: R в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус x в квадрате правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 16 x в квадрате правая круглая скобка =R левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка минус 8 x в квадрате \Rightarrow$
$\Rightarrow левая круглая скобка R в квадрате минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате минус 16 x в квадрате правая круглая скобка = левая круглая скобка R левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка минус 8 x в квадрате правая круглая скобка в квадрате \Rightarrow$
$\Rightarrow R в квадрате левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате минус 16 R в квадрате x в квадрате минус x в квадрате левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате плюс 16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =R в квадрате левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате минус 16 R левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка x в квадрате плюс 64 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка .$

Так как $x не равно q 0,$ то приходим к уравнению $48 x в квадрате =14 R r минус R в квадрате минус r в квадрате ,$ откуда

$x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 14 R r минус R в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус r в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Искомая же длина составляет

$2 x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 14 R r минус R в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус r в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 14 R r минус R в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус r в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности касающиеся, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих, Методы геометрии. Теорема Пифагора

Спрятать решение · Помощь