РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 562 Добавить в вариант

Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств

$система выражений x в кубе минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка 3a плюс 2 правая круглая скобка x минус 2a\geqslant0,x в кубе минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка x в квадрате плюс 3ax\leqslant0 конец системы .$

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Разложим левые части неравенств на множители:

$система выражений x в кубе минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка 3a плюс 2 правая круглая скобка x минус 2a больше или равно 0 , x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс 3 a x меньше или равно 0 конец системы равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка больше или равно 0,x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка меньше или равно 0. конец системы .$

Если a ⩾ 3, то решение первого неравенства составляют множества $левая квадратная скобка 1 ; 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка a; бесконечность правая круглая скобка ,$ а решение второго  — множество $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; a правая квадратная скобка ,$ так что у системы будет единственное решение x  =  a. В случае же a < 3 множества решений обоих неравенств содержат отрезок вида [b; 3], где в качестве b можно взять, например, наибольшее из чисел a и 2.

Ответ: $левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

За обоснованное решение  — 15 баллов, если с помощью верного рассуждения получено множество значений $левая круглая скобка 3; бесконечность правая круглая скобка$   — 10 баллов.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Методы алгебры. Преобразования выражений, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь