сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

На дне вер­ти­каль­но­го ци­лин­дри­че­ско­го со­су­да с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния R лежит шар ра­ди­у­са r. В сосуд на­ли­та жид­кость так, что ее по­верх­ность яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к по­верх­но­сти шара. Этот шар за­ме­ни­ли дру­гим  — мень­ше­го ра­ди­у­са. Жид­кость при этом не вы­ли­лась из со­су­да и не до­ли­ва­лась в него. Ока­за­лось, что новый шар лежит на дне ци­лин­дра, а по­верх­ность жид­ко­сти опять яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к по­верх­но­сти шара. При каких зна­че­ни­ях со­от­но­ше­ния  дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: r конец дроби можно на­блю­дать такое яв­ле­ние при за­ме­не шара дру­гим шаром мень­ше­го ра­ди­у­са?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Объем жид­ко­сти в со­су­де равен  Пи R в квад­ра­те умно­жить на 2 r минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи r в кубе . Обо­зна­чим ра­ди­ус вто­ро­го шара ρ, тогда объем жид­ко­сти не из­ме­нит­ся:

 Пи R в квад­ра­те умно­жить на 2 r минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи r в кубе = Пи R в квад­ра­те умно­жить на 2 \rho минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи \rho в кубе .

Из этого урав­не­ния най­дем ρ. раз­де­лив части на 2 Пи и за­пи­сав в виде

 дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \rho в кубе минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби r в кубе =R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка \rho минус r пра­вая круг­лая скоб­ка .

Тогда

 дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка \rho минус r пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \rho в квад­ра­те плюс r \rho плюс r в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка \rho минус r пра­вая круг­лая скоб­ка ,

а так как \rho минус r боль­ше 0, то \rho в квад­ра­те плюс r \rho плюс r в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби R в квад­ра­те =0.

От­сю­да

\rho= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 3 r в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус r, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Но \rho мень­ше или равно R, по­это­му, решив не­ра­вен­ство

\rho= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 3 r в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус r, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно r

от­но­си­тель­но R и учи­ты­вая, что R боль­ше r, по­лу­чим: r мень­ше или равно R мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та r, от­ку­да 1 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: r конец дроби мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 1 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: r конец дроби мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .