На дне вертикального цилиндрического сосуда с радиусом основания R лежит шар радиуса r. В сосуд налита жидкость так, что ее поверхность является касательной к поверхности шара. Этот шар заменили другим — меньшего радиуса. Жидкость при этом не вылилась из сосуда и не доливалась в него. Оказалось, что новый шар лежит на дне цилиндра, а поверхность жидкости опять является касательной к поверхности шара. При каких значениях соотношения можно наблюдать такое явление при замене шара другим шаром меньшего радиуса?
Объем жидкости в сосуде равен Обозначим радиус второго шара ρ, тогда объем жидкости не изменится:
Из этого уравнения найдем ρ. разделив части на и записав в виде
Тогда
а так как то
Отсюда
Но поэтому, решив неравенство
относительно R и учитывая, что получим: откуда
Ответ: