РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5659 Добавить в вариант

Найти все натуральные числа n, для которых сумма $S_n=1! плюс 2! плюс 3! плюс умножить на s плюс n!$ является полным квадратом $левая круглая скобка n!=1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на умножить на s умножить на умножить на n. правая круглая скобка$ Ответ обосновать.

Спрятать решение

Решение.

Натуральное число не может быть полным квадратом, если оно оканчивается на 3. Легко видеть, что S_n при $n больше или равно 4$ оканчивается на 3. Действительно, $S_4=1 ! плюс 2 ! плюс 3 ! плюс 4 !=33,$ а n! при $n больше или равно 5$ оканчивается нулем, то есть S₅ и все последующие оканчиваются цифрой 3. Остается проверить, что S₁ и S₃  — полные квадраты.

Ответ: $n=1$ и $n=3 .$

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: числа. Произведения и факториалы

Спрятать решение · Помощь