РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5661 Добавить в вариант

Два квадрата ABCD и BEFG имеют общую сторону BC  =  BG. Квадрат ABCD повернули на некоторый угол относительно общей вершины B как центра окружности так, что продолжение диагонали AC проходит через точку F квадрата BEFG. Найти угол AJG, где J  — точка пересечения стороны BG неподвижного квадрата BEFG с диагональю AC квадрата ABCD после поворота.

Спрятать решение

Решение.

Расставим буквы и проведем прямые DE и BH.

Покажем, что DE проходит через точку G. Рассмотрим треугольники BCH и BGH. Очевидно, они равны, а, следовательно, равны отрезки CH и GH. Так же равны отрезки DH и FH. Углы GHD и GHF равны как вертикальные. Следовательно, угол GDH равен углу CFH. Поэтому точка G лежит на DE.

Проведем DB, DF и BF.

Очевидно, что $B D=B F$ как диагонали равных квадратов. Угол BGE равен 45°, поэтому, смежный с ним угол $\angle B G D=135 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $\angle E G F=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Поэтому $\angle D G F=135 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ как смежный. Рассмотрим треугольники DGB и DFG. У них DG  — общая сторона, тогда $B G=F G$ и $\angle B G D=\angle D G F.$ Следовательно, эти треугольники равны: $\triangle D G B=\triangle D F G.$ Поэтому $B D=D F.$ Следовательно, треугольник BDF  — равносторонний. Поэтому $\angle D B F=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ откуда

$\angle E B D=\angle E B F плюс \angle F B D=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =105 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

и $\angle A J G=\angle E B D$ как углы со взаимно перпендикулярными сторонами (BE перпендикулярен $B G, A F$ перпендикулярен BD).

Ответ: 105°.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Олимпиадная геометрия. Движения плоскости и пространства

Спрятать решение · Помощь