сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

На плос­ко­сти за­да­ны точки A(2; 4), B(4; 2) и пря­мая y  =  kx (k > 0). Точка M при­над­ле­жит пря­мой y  =  kx. Найти тре­уголь­ник 4ABM с ми­ни­маль­ным зна­че­ни­ем его пе­ри­мет­ра и вы­чис­лить зна­че­ние пе­ри­мет­ра.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­да­ча не имеет ре­ше­ния при k_1 мень­ше или равно k мень­ше или равно k_2, где k1  — уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой, про­хо­дя­щей через точку B, а k2  — через точку A. Най­дем эти зна­че­ния: y=k_1 x, x=4, y=2, 2=k 4, сле­до­ва­тель­но, k_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; y=k_2 x, x=2, y=4, сле­до­ва­тель­но, k_2=2.

При 2 боль­ше или равно k боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ре­ше­ния нет. Най­дем ре­ше­ние при дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше k боль­ше 0 и k боль­ше 2. От­ло­жим точку C, сим­мет­рич­ную точке A от­но­си­тель­но пря­мой y=k x, для этого из A опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр на y=k x и на нем най­дем точку C такую, что A D=D C. Про­во­дя пря­мую через точки C и B, най­дем ее пе­ре­се­че­ние с пря­мой y=k x (точка M). Тре­уголь­ник AMB  — ис­ко­мый тре­уголь­ник, по­сколь­ку A M плюс M B=A C, а крат­чай­шее рас­сто­я­ние между точ­ка­ми  — пря­мая. Най­дем пе­ри­метр этого тре­уголь­ни­ка:

P=A B плюс B C, A B= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 4 минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс левая круг­лая скоб­ка 2 минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Най­дем ко­ор­ди­на­ты точки C. Для этого за­пи­шем урав­не­ние пря­мой, про­хо­дя­щей через точку A пер­пен­ди­ку­ляр­но y=k x:

y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: k конец дроби x плюс b, x=2, y=4 \Rightarrow 4= минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: k конец дроби плюс b \Rightarrow b= дробь: чис­ли­тель: 4 k плюс 2, зна­ме­на­тель: k конец дроби \Rightarrow y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: k конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 4 k плюс 2, зна­ме­на­тель: k конец дроби левая круг­лая скоб­ка A C пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем ко­ор­ди­на­ты точки D:

си­сте­ма вы­ра­же­ний y=k x, y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: k конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 4 k плюс 2, зна­ме­на­тель: k конец дроби конец си­сте­мы . \Rightarrow k x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: k конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 4 k плюс 2, зна­ме­на­тель: k конец дроби \Rightarrow си­сте­ма вы­ра­же­ний x_D= дробь: чис­ли­тель: 4 k плюс 2, зна­ме­на­тель: k конец дроби : дробь: чис­ли­тель: k в квад­ра­те плюс 1, зна­ме­на­тель: k конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 k плюс 2, зна­ме­на­тель: k в квад­ра­те плюс 1 конец дроби , y_D=k дробь: чис­ли­тель: 4 k плюс 2, зна­ме­на­тель: k в квад­ра­те плюс 1 конец дроби . конец си­сте­мы .

Точка D  — се­ре­ди­на от­рез­ка AC, тогда

x_C=2 x_D плюс x_A= дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка 4 k плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: k в квад­ра­те плюс 1 конец дроби плюс 2, y_C=2 y_D плюс y_A=2 k дробь: чис­ли­тель: 4 k плюс 2, зна­ме­на­тель: k в квад­ра­те плюс 1 конец дроби плюс 4.

Тогда длина

C B= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка 4 k плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: k в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 конец дроби плюс 2 минус 4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка в квад­ра­те плюс левая квад­рат­ная скоб­ка 2 k дробь: чис­ли­тель: 4 k плюс 2, зна­ме­на­тель: k в квад­ра­те плюс 1 конец дроби плюс 4 минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка 4 k плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: k в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 конец дроби минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка в квад­ра­те плюс левая квад­рат­ная скоб­ка 2 k дробь: чис­ли­тель: 4 k плюс 2, зна­ме­на­тель: k в квад­ра­те плюс 1 конец дроби плюс 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ,

P=C B плюс A B=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4 k плюс 2 минус k в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: k в квад­ра­те плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: k левая круг­лая скоб­ка 4 k плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс k в квад­ра­те плюс 1, зна­ме­на­тель: k в квад­ра­те плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =
=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: k в квад­ра­те плюс 1 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 4 k минус k в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 5 k в квад­ра­те плюс 2 k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: P=C B плюс A B=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: k в квад­ра­те плюс 1 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 4 k минус k в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 5 k в квад­ра­те плюс 2 k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024