Про­ве­дем в тре­уголь­ни­ке ABC от­рез­ки BE и CD, пусть они пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Пусть также пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна Тре­уголь­ни­ки ABC и BCD имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны C, по­это­му их пло­ща­ди от­но­сят­ся как от­но­ше­ние ос­но­ва­ний AB и BD:

по­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCD равна

Тре­уголь­ни­ки ABC и BCE имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны B, по­это­му их пло­ща­ди от­но­сят­ся как от­но­ше­ние ос­но­ва­ний:

по­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCE равна

Най­дем, в каком от­но­ше­нии точка F делит от­ре­зок CD. Для этого за­пи­шем тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ACD и се­ку­щей CD:

от­ку­да или Тогда

Тре­уголь­ни­ки BCD и BCF имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны B, по­это­му их пло­ща­ди от­но­сят­ся как от­но­ше­ние ос­но­ва­ний:

по­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCF равна

Но тогда пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков BDF и CEF равны

Таким об­ра­зом, пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ADFE равна раз­но­сти пло­ща­дей

от­ку­да сле­ду­ет, что ис­ко­мая пло­щадь S тре­уголь­ни­ка ABC равна

Ответ: