РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5684 Добавить в вариант

Пусть N  — четное число, не делящееся на 10. Какова будет цифра десятков числа N²⁰?

Решение.

Найдем две последние цифры числа $N в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка .$ Число $N в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка$ делится на 4, так как N четно. Далее, число N не делится на 5 (иначе оно делилось бы на 10) и, значит, представимо в виде $5 k \pm 1$ или $5 k \pm 2.$ Но число

$левая круглая скобка 5 k \pm 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка = левая круглая скобка 5 k правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка \pm 20 умножить на левая круглая скобка 5 k правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка плюс \ldots плюс дробь: числитель: 20 умножить на 19, знаменатель: 1 умножить на 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 5 k правая круглая скобка в квадрате \pm 20 умножить на левая круглая скобка 5 k правая круглая скобка плюс 1$

дает при делении на 25 остаток 1, а число

$левая круглая скобка 5 k \pm 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка = левая круглая скобка 5 k правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка \pm 20 умножить на левая круглая скобка 5 k правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка умножить на 2 плюс \ldots плюс дробь: числитель: 20 умножить на 19, знаменатель: 1 умножить на 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 5 k правая круглая скобка в квадрате умножить на 2 в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка \pm 20 умножить на левая круглая скобка 5 k правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка$ $левая круглая скобка 5 k \pm 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка = левая круглая скобка 5 k правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка \pm 20 умножить на левая круглая скобка 5 k правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка умножить на 2 плюс \ldots плюс$
$плюс дробь: числитель: 20 умножить на 19, знаменатель: 1 умножить на 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 5 k правая круглая скобка в квадрате умножить на 2 в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка \pm 20 умножить на левая круглая скобка 5 k правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка$

дает при делении на 25 тот же остаток, что и число

$2 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 1024 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 1025 минус 1 правая круглая скобка в квадрате ,$

то есть тоже остаток 1.

Из того, что N²⁰ при делении на 25 дает остаток 1 следует, что последними двумя цифрами этого числа могут быть лишь 01, 26, 51 или 76. Учитывая, что N²⁰ должно делиться на 4, заметим, что последними двумя цифрами могут быть только 76. Значит, цифрой десятков числа N²⁰ будет цифра 7.

Ответ: 7.

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости, Алгебра: числа. Остатки и сравнения

Спрятать решение · Помощь