РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5685 Добавить в вариант

В треугольник с основанием, равным a, вписан квадрат, одна из сторон которого лежит на основании треугольника. Площадь квадрата составляет $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби$ часть площади треугольника. Определите высоту треугольника и сторону квадрата.

Спрятать решение

Решение.

Если MDEL  — квадрат со стороной x, вписанный в данный треугольник ABC с высотой $h=B K,$ $a=A C,$ то имеем

$\triangle A E M \sim \triangle A B K \Rightarrow дробь: числитель: A E, знаменатель: A B конец дроби = дробь: числитель: x, знаменатель: h конец дроби ,$ $\triangle E B D \sim \triangle A B C \Rightarrow дробь: числитель: E B, знаменатель: A B конец дроби = дробь: числитель: x, знаменатель: a конец дроби .$

Таким образом, получаем

$дробь: числитель: x, знаменатель: h конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: A E, знаменатель: A B конец дроби плюс дробь: числитель: E B, знаменатель: A B конец дроби =1 \Rightarrow x a плюс x h=a h .$

По условию,

$a h=12 x в квадрате \Rightarrow левая фигурная скобка \beginaligna h=12 x в квадрате , a плюс h=12 x \endailgn. \Rightarrow x= дробь: числитель: 3 \pm корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби a, h= левая круглая скобка 5 \pm 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента правая круглая скобка a.$

Ответ: $x= дробь: числитель: 3 \pm корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби a,$ $h= левая круглая скобка 5 \pm 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента правая круглая скобка a.$

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения рациональные, Методы алгебры. Замена переменной, Методы геометрии. Подобие

Спрятать решение · Помощь