РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5695 Добавить в вариант

Сколько существует способов представить число 2017 в виде суммы членов арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел?

Спрятать решение

Решение.

Используя формулу суммы арифметической прогрессии и условие, что она состоит из натуральных чисел получаем уравнение в целых числах

$левая круглая скобка a_1 плюс a_n правая круглая скобка n=2 умножить на 2017,$

где $a_1, a_n, n принадлежит N .$ Поскольку 2017  — простое число, у уравнения существуют следующие решения:

$система выражений a _ 1 плюс a _ n = 2 , n = 2 0 1 7 ; конец системы .$

$система выражений a _ 1 плюс a _ n = 2 0 1 7 , n = 2 ; конец системы .$

$система выражений a_1 плюс a_n=4034 n=1. конец системы .$

В первой системе уравнений из условия $a_1 плюс a_n=2$ получаем $a_1=a_2=1.$ Таким образом, $\sum_n=1 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка 1=2017.$

При решении второй системы получаем следующие решения

$a_1=1, a_2=2016; \quad a_1=2, a_2=2015;$

$\ldots$

$a_1=1008, a_2=1009; \quad a_1=1009, a_2=1008;$

$\ldots$

$a_1=2015, a_2=2; \quad a_1=2016, a_2=1.$

Последняя система дает тривиальный случай, когда сумма содержит единственное слагаемое $a_1=2017.$

Таким образом, существует ровно 2017 нетривиальных разложений числа 2017 в сумму членов арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, если учитывать порядок сложения.

Если порядок сложения не учитывать, то получается 1009 нетривиальных разложений числа 2017 в сумму членов арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел.

Ответ: 1009 нетривиальных разложений.

Олимпиада Казанского федерального университета, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии, Алгебра: уравнения и неравенства. Системы линейных уравнений

Спрятать решение · Помощь