Сколько существует способов представить число 2017 в виде суммы натуральных членов геометрической прогрессии?
Пусть b1 — первый член геометрической прогрессии, а q — множитель этой прогрессии.
По условию задачи любой элемент прогрессии 
В таком случае 
обязательно является дробным числом, то есть 
Пусть 
представление множителя прогрессии в виде несократимой дроби и
Предположим, что 
тогда 
и либо 
либо 
Далее будем полагать, что 
Подставим в уравнение
Получаем
откуда
Поскольку 
то 
следовательно, последнее уравнение можно переписать в виде
Заметим, что 
в силу последнего равенства, поскольку иначе сумма 
не могла бы быть равна натуральному числу. Так как все элементы суммы 
натуральны и в сумме должны давать 2017, то 
и 
Теперь
и n и m взаимно простые, откуда следует, что 
а значит 
Предположим, что 
тогда 
а значит сумма
не может давать натурального числа. Следовательно, 
Осталось найти все комбинации, когда
При 
подходят все суммы типа
При 
получаем уравнение 
Достаточно рассмотреть случай 
Тогда
Из условия
получаем, что 
a следовательно, нужно перебрать все возможные m от 1 до 25 в поисках такого, что 
будет натуральным числом.
Подбором получаем, что таким числом из указанного диапазона является только число 7, при котором 
Проверим
Для нечетных 
верно, что
Поскольку 2017 — простое число, то оно не может быть произведением двух целых чисел. При 
получаем уравнение
причем 
а следовательно, 
Поскольку n, m взаимно простые стоит проверить лишь пары чисел
Для проверки рекомендуем перейти к уравнению 
Ни одна из пар не подходит, При 
получаем уравнение
причем 
а следовательно, 
Нужно проверить пары чисел (1, 2), (1, 3), (2, 3). Для проверки рекомендуем перейти к уравнению 
Ни одна из пар не подходит.
При 
получаем, что 
а следовательно, 
Поскольку n, m взаимно простые, то необходимо рассмотреть лишь пару (1, 2). Тогда
однако число 2018 не является натуральной степенью числа 2, поэтому такого быть не может.
С точностью до перестановок слагаемых существует 1008 способов представить число 2017 в виде двух слагаемых, 1 способ представить в виде суммы трех слагаемых, и 1 способ представить в виде 2017 слагаемых. Итого 1010 способов.
Ответ: 1010 способов.