При каких значениях вещественного параметра a система уравнений 
имеет единственное решение?
Запишем ОДЗ: 
Обратим внимание, что уравнение 
можно логарифмировать и записать в виде
Исследуем функцию 
на монотонность. Для этого найдем производную
Оказывается, что функция f(x) возрастает на промежутке (0, e) и убывает на промежутке 
Вычислим пределы
Найдем, когда 
Решением этого неравенства оказывается промежуток (0, 1]. Сделаем эскиз графика функции f(x).
Очевидно, что одним из решений уравнения 
всегда является полупрямая 
Второе решение существует только в том случае, если 
или 
Уравнение имеет единственное решение только в случае если 
В таком случае 
где 
Исследуем функцию 
Для этого найдем ее производную
Поскольку 
то функция g убывает при 
и возрастает при 
Выясним предел функции g в нуле
Таким образом, в области 
функция g принимает значения
а значит система обладает единственным решением при
Ответ: при