сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

До­ка­жи­те, что  левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2017 пра­вая круг­лая скоб­ка можно пред­ста­вить в виде a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , где a, b такие целые числа, что 3a в квад­ра­те минус 2b в квад­ра­те =1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

До­ка­жем ме­то­дом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го

n левая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит N пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =a_n ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус b_n ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

где a_n, b_n при­над­ле­жит N . Для n=1 ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми a_1=b_1=1. Пред­по­ло­жим те­перь, что утвер­жде­ние верно для не­ко­то­ро­го фик­си­ро­ван­но­го n до­ка­жем, что из ра­вен­ства для n сле­ду­ет ра­вен­ство для n плюс 1. Тогда

 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =
= левая круг­лая скоб­ка a_n ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус b_n ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 5 a_n плюс 4 b_n пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус левая круг­лая скоб­ка 5 b_n плюс 6 a_n пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Об­ра­тим вни­ма­ни­ем, что мы по­лу­чи­ли ре­кур­рент­ные со­от­но­ше­ния  a_n плюс 1=5 a_n плюс 4 b_n и  b_n плюс 1=5 b_n плюс 6 a_n, при­чем a_1=b_1=1.

Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что

 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =a_n ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс b_n ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та

с теми же ко­эф­фи­ци­ен­та­ми an, bn. Из ра­венств

 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2017 пра­вая круг­лая скоб­ка =a_1009 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус b_1009 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2017 пра­вая круг­лая скоб­ка =a_1009 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс b_1009 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

пе­ре­мно­жая левые и пра­вые части, по­лу­ча­ем

1=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2017 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2017 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2017 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= левая круг­лая скоб­ка a_1009 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус b_1009 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a_1009 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс b_1009 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =3 a_1009 в квад­ра­те минус 2 b_1009 в квад­ра­те .