Триангуляцией многоугольника называется разбиением многоугольника на треугольники таким образом, чтобы вершины треугольников совпадали с вершинами многогранника. Сколько существует способов триангулировать выпуклый семиугольник?
Обозначим En число вариантов триангуляций выпуклого n-угольника. Очевидно, что для треугольника существует единственная триангуляция, поэтому 
а для четырехугольника существует ровно две 
В произвольном
Обратим внимание, что выделенная сторона
Иллюстрация. Семиугольник, в котором выделена одна из сторон и все возможные треугольники триангуляции ее содержащие. Рассмотрим все треугольники триангуляции, содержащие выделенную сторону. Оказывается, что с одной стороны от любого из таких треугольников лежит 
включая вырожденный случай двуугольника) 
-угольник.
считая, что 
Обратим вниманием, что получающиеся в результате таких операций триангуляции n угольника всегда различны между собой, поскольку для различных выделенных треугольников триангуляции не могут совпадать. В таком случае для пятиугольника
для шестиугольника
и для семиугольника
Перечислим ниже их все:
Следует обратить внимание, что с точностью до поворота существует шесть способов триангуляции, описанные в левом столбце рисунка, а с точностью до поворота и отражения существует ровно четыре способа триангуляции.
Ответ: с точностью до поворота существует шесть способов триангуляции, описанные в левом столбце рисунка, а с точностью до поворота и отражения существует ровно четыре способа триангуляции.