сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По фор­му­ле при­ве­де­ния имеем

 ко­си­нус в квад­ра­те гамма = ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 180 минус альфа минус бета пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка альфа плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка .

Так как  гамма мень­ше 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , то  альфа плюс бета боль­ше 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка и  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка альфа плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0. По фор­му­ле ко­си­нус суммы имеем

 ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс ко­си­нус в квад­ра­те бета плюс ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка альфа плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс ко­си­нус в квад­ра­те бета плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус альфа умно­жить на ко­си­нус бета минус синус альфа умно­жить на синус бета пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =
= ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс ко­си­нус в квад­ра­те бета плюс ко­си­нус в квад­ра­те альфа умно­жить на ко­си­нус в квад­ра­те бета плюс синус в квад­ра­те альфа умно­жить на синус в квад­ра­те бета минус 2 ко­си­нус альфа умно­жить на ко­си­нус бета умно­жить на синус альфа умно­жить на синус бета =
= ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс ко­си­нус в квад­ра­те бета плюс ко­си­нус в квад­ра­те альфа умно­жить на ко­си­нус в квад­ра­те бета плюс левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те альфа пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те бета пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 ко­си­нус альфа умно­жить на ко­си­нус бета умно­жить на синус альфа умно­жить на синус бета =
=2 ко­си­нус в квад­ра­те альфа умно­жить на ко­си­нус в квад­ра­те бета минус 2 ко­си­нус альфа умно­жить на ко­си­нус бета умно­жить на синус альфа умно­жить на синус бета плюс 1=
=2 ко­си­нус альфа умно­жить на ко­си­нус бета левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус альфа умно­жить на ко­си­нус бета минус синус альфа умно­жить на синус бета пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1=2 ко­си­нус альфа умно­жить на ко­си­нус бета умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка альфа плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 мень­ше 1,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть \angle A= альфа , \angle B= бета ,  \angle C= гамма . Пусть A1, B1, C1 ос­но­ва­ния высот, про­ведённых из вер­шин тре­уголь­ни­ка A, B, C со­от­вет­ствен­но. За­ме­тим, что

 дробь: чис­ли­тель: s_A B_1 c_1 плюс S_B A_1 C_1 плюс S_C A_1 B_1, зна­ме­на­тель: S_A B C конец дроби мень­ше 1 .

С дру­гой сто­ро­ны,

 дробь: чис­ли­тель: s_A B_1 c_1 плюс S_B A_1 c_1 плюс S_C A_1 B_1, зна­ме­на­тель: S_A B C конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: A B_1 умно­жить на A C_1 умно­жить на синус альфа , зна­ме­на­тель: A B умно­жить на A C умно­жить на синус альфа конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: B A_1 умно­жить на B C_1 умно­жить на синус бета , зна­ме­на­тель: B A умно­жить на B C умно­жить на синус бета конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: C A_1 умно­жить на C B_1 умно­жить на синус гамма , зна­ме­на­тель: C A умно­жить на C B умно­жить на синус гамма конец дроби = ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс ко­си­нус в квад­ра­те бета плюс ко­си­нус в квад­ра­те гамма ,

от­ку­да  ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс ко­си­нус в квад­ра­те бета плюс ко­си­нус в квад­ра­те гамма мень­ше 1 , ч. т. д.