Обо­зна­чим за O точку, в ко­то­рой из­на­чаль­но сидит па­у­чок. Будем ис­кать точки с ука­зан­ным свой­ством на ниж­ней грани приз­мы. В силу сим­мет­рии кон­струк­ции такое же ко­ли­че­ство най­ден­ных точек будет и на верх­ней грани приз­мы. Пусть M  — не­ко­то­рая точка ниж­не­го ос­но­ва­ния приз­мы с ука­зан­ным свой­ством. Для по­па­да­ния па­уч­ка на ниж­нюю грань, он дол­жен пе­ре­сечь ниж­нее ребро не­ко­то­рой бо­ко­вой грани. Рас­смот­рим ва­ри­ан­ты, при ко­то­рых он мог это сде­лать. Рас­смот­рим развёртку бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы. Она пред­став­ля­ет собой пря­мо­уголь­ник раз­ме­ром м, со­сто­я­щий из квад­ра­тов раз­ме­ра м. Пусть K  — точка на ниж­нем ос­но­ва­нии этого пря­мо­уголь­ни­ка, в ко­то­рую попал па­у­чок перед тем, как на­чать полз­ти по ниж­не­му ос­но­ва­нию приз­мы. По не­ра­вен­ству тре­уголь­ни­ка па­у­чок дол­жен дви­гать­ся к ней по от­рез­ку ОК, так как иначе прой­ден­ное им рас­сто­я­ние уве­ли­чит­ся. Рас­сто­я­ние от точки O до даль­не­го угла со­сед­не­го квад­ра­та равно от­ку­да сле­ду­ет, что точка K лежит либо на грани, с ко­то­рой стар­то­вал па­у­чок, либо на грани, со­сед­ней со стар­то­вой. Пред­по­ло­жим, что два крат­чай­ших рас­сто­я­ния ре­а­ли­зо­ва­лись, при этом в одном пути па­у­чок пересёк ребро на­чаль­ной грани, а в дру­гом  — ребро со­сед­ней грани. Рас­смот­рим две развёртки: на одной изоб­ра­зим на­чаль­ную грань, стар­то­вую точку О и при­мы­ка­ю­щую к ней ниж­нюю грань; на дру­гой изоб­ра­зим на­чаль­ную грань с той же стар­то­вой точ­кой, но обо­зна­чен­ной и со­сед­нюю грань с при­мы­ка­ю­щей к ней ниж­ней гра­нью. На­ло­жим эти развёртки. Про­ведём окруж­ность с цен­тром в точке O и ра­ди­у­сом 3 м. Тогда PQ  — дуга этой окруж­но­сти, за­клю­чен­ная внут­ри ос­но­ва­ния приз­мы. Пусть точка S  — се­ре­ди­на Про­ведём се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не Пусть он пе­ре­сечёт дугу PQ в точке M. По­сколь­ку SM пройдёт через точку A. Точка M рав­но­уда­ле­на от O и и м  — по по­стро­е­нию, сле­до­ва­тель­но, M  — ис­ко­мая. Дру­гих путей, ре­а­ли­зу­е­мых по вы­бран­ной со­сед­ней грани, нет, так как точка с ука­зан­ным свой­ством долж­на ле­жать на дуге PQ и на пря­мой SA, а их пе­ре­се­че­ние един­ствен­но. В силу сим­мет­рии, такая же точка есть и на дру­гой по­ло­ви­не дуги, а крат­чай­шее рас­сто­я­ние до неё ре­а­ли­зу­ет­ся по дру­гой со­сед­ней грани.

Те­перь рас­смот­рим слу­чай, когда два крат­чай­ших рас­сто­я­ния ре­а­ли­зо­ва­лись, при этом в обоих путях па­у­чок пересёк ребро со­сед­ней грани. Если при таком слу­чае найдётся точка M с ука­зан­ным свой­ством, то рас­сто­я­ние от неё до точки O будет боль­ше трёх, иначе не будет крат­чай­шим путём. Все точки, рас­сто­я­ние от ко­то­рых до точки O боль­ше, чем до точки лежат выше пря­мой SM. Ана­ло­гич­ная пря­мая по­явит­ся при рас­смот­ре­нии развёртки с дру­гой со­сед­ней гра­нью, а ис­ко­мая точка долж­на на­хо­дить­ся ниже этой пря­мой. Эти пря­мые со­став­ля­ют с ниж­ним реб­ром стар­то­вой грани угол 67,5°. Это озна­ча­ет, что пря­мые пе­ре­се­кут­ся вне грани ос­но­ва­ния приз­мы, и по­это­му пе­ре­се­че­ние об­ла­стей, в ко­то­рых лежат точки с ука­зан­ным свой­ством, пу­стое. В дан­ном слу­чае новых точек не по­яв­ля­ет­ся. По ска­зан­но­му ранее, на верх­ней грани приз­мы су­ще­ству­ют такие же две точки с ука­зан­ным свой­ством, зна­чит, всего точек че­ты­ре.

Ответ: 4.