РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5735 Добавить в вариант

Найти все пары целых чисел a и b таких, что числа $корень из: начало аргумента: корень из: начало аргумента: a конец аргумента плюс b конец аргумента$ и $корень из: начало аргумента: a плюс корень из: начало аргумента: b конец аргумента конец аргумента$ являются целыми.

Спрятать решение

Решение.

Очевидно, что числа a и b должны иметь следующий вид $a=n в квадрате ,$ $b=m в квадрате .$ Тогда числа $m в квадрате плюс n$ и $n в квадрате плюс m$ должны являться полными квадратами. Если одно из чисел $m, n$ равно нулю, то второе также должно являться полным квадратом. Если оба числа больше нуля, то $m в квадрате плюс n \geqslant левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка в квадрате$ и $n в квадрате плюс m \geqslant левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате .$ Раскрыв скобки и сложив, получаем $0 больше или равно m плюс n плюс 2,$ чего не может быть.

Ответ: $левая круглая скобка 0; k в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка k в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка ; 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка$ при всех $k принадлежит N .$

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра: числа. Числа рациональные и иррациональные, Методы алгебры. Выделение полного квадрата

Спрятать решение · Помощь