Сде­ла­ем развёртки пи­ра­ми­ды. Пусть M  — се­ре­ди­на ребра SA. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти, пусть та­ра­кан попал на ос­но­ва­ние ABCD через ребро AB. Тогда до се­ре­ди­ны ребра SC мы можем до­брать­ся тремя спо­со­ба­ми:

1)  Пе­рей­дя на со­сед­нюю грань через ребро BC.

2)  Пе­рей­дя на про­ти­во­по­лож­ную грань через ребро CD.

3)  Пе­рей­дя на грань SBC через ребро SB.

В пер­вых двух слу­ча­ях крат­чай­ший путь на развёртке будет яв­лять­ся от­рез­ком. При пер­вом слу­чае обо­зна­чим вер­ши­ну пи­ра­ми­ды S как S₁, при вто­ром S₂, а се­ре­ди­ны рёбер и N₂ со­от­вет­ствен­но.

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. По усло­вию BM и BN₁ ме­ди­а­ны рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков, а зна­чит Тогда от­ку­да По тео­ре­ме ко­си­ну­сов,

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай. За­ме­тим, что тре­уголь­ник CN₁N₂  — рав­но­бед­рен­ный, причём от­ку­да

По­это­му

сле­до­ва­тель­но, MN₁  — ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MN₁N₂, a зна­чит,

Рас­смот­рим тре­тий слу­чай. Обо­зна­чим вер­ши­ну пи­ра­ми­ды S как S₃, а се­ре­ди­ну ребра Пусть тра­ек­то­рия та­ра­ка­на пе­ре­сек­ла ребро AB в точке H. По­стро­им рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABS₄. Пусть   — се­ре­ди­на сто­ро­ны AS₄. В силу сим­мет­рии сле­ду­ет, что длина пути равна По­это­му длина пути будет ми­ни­маль­ной, когда точки H и N₃ будут ле­жать на одной пря­мой. Тогда длина пути будет равна длине от­рез­ка яв­ля­ю­ще­го­ся сред­ней ли­ни­ей тра­пе­ции SAS₄S₃, а имен­но

Разо­брав все воз­мож­ные слу­чаи, де­ла­ем вывод, что крат­чай­шая длина пути та­ра­ка­на равна 15.

Ответ: 15.