РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5755 Добавить в вариант

Про положительные числа a, b, c известно, что

$a в квадрате левая круглая скобка a минус c правая круглая скобка = левая круглая скобка b в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка$ и $b в квадрате левая круглая скобка b минус a правая круглая скобка = левая круглая скобка c в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс a правая круглая скобка .$

Докажите, что $c в квадрате левая круглая скобка c минус b правая круглая скобка = левая круглая скобка a в квадрате минус b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс b правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим равенство

Заметим, что если $b=c,$ то $a=c$ и равенство

$c в квадрате левая круглая скобка c минус b правая круглая скобка = левая круглая скобка a в квадрате минус b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс b правая круглая скобка$

выполняется, так как обе его части будут равны нулю. Поэтому в дальнейшем рассматриваем случай $b не равно q c.$ Раскроем скобки в первом равенстве и преобразуем его к виду

$a в кубе плюс c в квадрате a минус b в квадрате a=a в квадрате c плюс b в квадрате c минус c в кубе$

или

$a левая круглая скобка a в квадрате плюс c в квадрате минус b в квадрате правая круглая скобка =c левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка .$

Аналогично, преобразуем равенство

$b в квадрате левая круглая скобка b минус a правая круглая скобка = левая круглая скобка c в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс a правая круглая скобка$

к виду

$b левая круглая скобка b в квадрате плюс a в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка =a левая круглая скобка b в квадрате плюс c в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка .$

Перемножим два полученных равенства и получим

$a b левая круглая скобка a в квадрате плюс c в квадрате минус b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка b в квадрате плюс a в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка =a c левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка b в квадрате плюс c в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$ $a b левая круглая скобка a в квадрате плюс c в квадрате минус b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка b в квадрате плюс a в квадрате минус$
$минус c в квадрате правая круглая скобка =a c левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка b в квадрате плюс c в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Если $a в квадрате плюс b в квадрате минус c в квадрате =0,$ то равенство

равносильно

$левая круглая скобка c в квадрате минус b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка a минус c правая круглая скобка = левая круглая скобка b в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка .$

Поскольку $b не равно q c,$ то значит, $c минус a=a плюс c,$ откуда $c=0$ и условие задачи не выполняется. Поэтому $a в квадрате плюс b в квадрате минус c в квадрате не равно q 0$ и можно сократить обе части равенства (*) на $a левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка .$ В итоге получаем

$b левая круглая скобка a в квадрате плюс c в квадрате минус b в квадрате правая круглая скобка =c левая круглая скобка b в квадрате плюс c в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка ,$

что равносильно

$b a в квадрате плюс b c в квадрате минус b в кубе =c b в квадрате плюс c в кубе минус c a в квадрате .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Полное решение	20 баллов
Отсутствие решения	0 баллов

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Действия с числами, Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в системах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь