РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5759 Добавить в вариант

Пусть A  — количество способов представить число 2018 в виде суммы факториалов натуральных чисел, а B  — количество способов представить число 2019 в виде суммы факториалов натуральных чисел (наборы, отличающиеся перестановкой чисел, считаются одинаковыми). Докажите, что A  =  B.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $a_1 ! плюс a_2 ! плюс a_3 ! плюс \ldots плюс a_n !=2019$   — некоторое представление числа 2019 в виде суммы факториалов натуральных чисел. Поскольку эта сумма нечётна, есть хотя бы одно нечётное слагаемое. Нечётный факториал единственный и равен единице, поэтому, без ограничения общности, $a_1=1.$ Тогда равенство примет вид $a_2 ! плюс a_3 ! плюс \ldots плюс a_n !=2018$ и является представлением числа 2018 в виде суммы факториалов натуральных чисел. То есть из каждого представления числа 2019 мы однозначно получили представление числа 2018. С другой стороны, взяв любое представление $b_2 ! плюс b_3 ! плюс \ldots плюс b_k !=2018$ и добавив к нему $b_1 !=1,$ получим однозначно представление

$b_1 ! плюс b_2 ! плюс b_3 ! плюс \ldots плюс b_k !=2019 .$

Значит, количества представлений чисел 2018 и 2019 совпадают.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Полное решение	15 баллов
Сформулирована, но не доведена до конца, идея сравнения чисел A и B, в которой явно выписан один из способов представления чисел 2018 и 2019, а остальные способы получаются с помощью одних и тех же преобразований	5 баллов
Доказано, что в каждом представлении 2019 в виде суммы факториалов натуральных чисел есть слагаемое 1!	5 баллов
Замечено, но не доказано, что в каждом представлении 2019 в виде суммы факториалов натуральных чисел есть слагаемое 1!	3 балла
Замечено, что любое представление числа 2018 в виде суммы факториалов натуральных чисел при добавлении 1! Превращается в представление числа 2019	3 балла
Отсутствие доказательства того, что в каждом представлении 2019 в виде суммы факториалов натуральных чисел есть слагаемое 1!	−3 балла
Отсутствие решения	0 баллов

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Действия с числами, Алгебра: числа. Произведения и факториалы

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь