РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5764 Добавить в вариант

Многочлен $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка плюс bx плюс c$ принимает целые значения при любых целых x. Какое наименьшее положительное значение может принимать a?

Спрятать решение

Решение.

По условию f(x) принимает целые значения при всех целых x, поэтому числа $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =c,$ $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =a плюс b плюс c$ и $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =a минус b плюс c$   — целые. Значит, $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =2 a плюс 2 c$   — целое, а так как c  — целое, то и 2a целое. Если $a больше 0,$ то 2a не меньше 1, и, значит, $a больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка$ с коэффициентом $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ удовлетворяет условию задачи, поскольку сумма $x в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка плюс x$ делится на 2 для всех чётных и нечётных x.