РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5765 Добавить в вариант

На каждой грани куба написано по одному положительному числу. Для каждой вершины подсчитали произведение чисел на трёх примыкающих к ней гранях, сумма восьми полученных чисел оказалась равной 1000. Найдите наименьшее возможное значение суммы шести чисел, написанных на гранях куба.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим пары чисел на противоположных гранях куба через a₁ и a₂, b₁ и b₂, c₁ и c₂. Тогда сумма восьми произведений равна

$левая круглая скобка a_1 плюс a_2 правая круглая скобка левая круглая скобка b_1 плюс b_2 правая круглая скобка левая круглая скобка c_1 плюс c_2 правая круглая скобка =1000.$

Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и геометрическом для трёх положительных чисел $a_1 плюс a_2,$ $b_1 плюс b_2$ и $c_1 плюс c_2:$

$корень 3 степени из: начало аргумента: левая круглая скобка a_1 конец аргумента плюс a_2 правая круглая скобка левая круглая скобка b_1 плюс b_2 правая круглая скобка левая круглая скобка c_1 плюс c_2 правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка a_1 плюс a_2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b_1 плюс b_2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c_1 плюс c_2 правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби .$

Левая часть равна $корень 3 степени из: начало аргумента: 1000 конец аргумента =10,$ поэтому наименьшее значение суммы

$левая круглая скобка a_1 плюс a_2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b_1 плюс b_2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c_1 плюс c_2 правая круглая скобка$

paвно 30.

Знак равенства достигается только в случае

$a_1 плюс a_2=b_1 плюс b_2=c_1 плюс c_2=10.$

Этим условиям удовлетворяют, например, числа 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7.

Ответ: 30.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Только пример — 5 баллов.

Оценка суммы — 20 баллов.

Олимпиада Казанского федерального университета, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Минимаксные задачи без производной, Алгебра. Неравенства со средними

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь