сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Функ­ция f(x) за­да­на на всей чис­ло­вой оси, причём для всех x вы­пол­ня­ют­ся не­ра­вен­ства:

f левая круг­лая скоб­ка x плюс 2018 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x плюс 2019 пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  При­ду­май­те хотя бы одну функ­цию f(x), удо­вле­тво­ря­ю­щую этим усло­ви­ям.

б)  До­ка­жи­те, что функ­ция f(x)  — пе­ри­о­ди­че­ская.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  На­при­мер, f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =| синус левая круг­лая скоб­ка Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка |.

б)  Пред­ста­вим x плюс 2019 в виде  левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2018 и при­ме­ним пер­вое не­ра­вен­ство из усло­вия за­да­чи, взяв в ка­че­стве x вы­ра­же­ние x плюс 1. Тогда f левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2018 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , и по­сколь­ку f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x плюс 2019 пра­вая круг­лая скоб­ка , имеем f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Под­ста­вив в это не­ра­вен­ство x плюс 1 вме­сто x, по­лу­чим f левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , и, зна­чит, f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . По­вто­ряя эти рас­суж­де­ния, по­лу­чим

 f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно \ldots мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x плюс 2018 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Но по усло­вию f левая круг­лая скоб­ка x плюс 2018 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит, в при­ведённой це­поч­ке все не­ра­вен­ства об­ра­ща­ют­ся в ра­вен­ства, то есть f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =\ldots Дру­ги­ми сло­ва­ми, функ­ция f(x) имеет пе­ри­од T=1.

 

Ответ: а) на­при­мер, f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =| синус левая круг­лая скоб­ка Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка |.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Пра­виль­ное ре­ше­ние пунк­та a) — 10 бал­лов, пунк­та 6) — 15 бал­лов.