Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Функция f(x) задана на всей числовой оси, причём для всех x выполняются неравенства:
а) Придумайте хотя бы одну функцию f(x), удовлетворяющую этим условиям.
б) Докажите, что функция f(x) — периодическая.
Решение.
Спрятать критерии
а) Например, 
б) Представим 
в виде 
и применим первое неравенство из условия задачи, взяв в качестве x выражение 
Тогда 
и поскольку 
имеем 
Подставив в это неравенство 
вместо x, получим 
и, значит, 
Повторяя эти рассуждения, получим
Но по условию 
Значит, в приведённой цепочке все неравенства обращаются в равенства, то есть 
Другими словами, функция f(x) имеет период 
Ответ: а) например,