РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5782 Добавить в вариант

Неотрицательные числа a, b, c и d таковы, что a +  b + c + d  =  4. Найдите наибольшее возможное значение суммы S  =  ab + bc +  cd и определите все четвёрки (a, b, c, d) чисел, для которых это максимальное значение достигается.

Спрятать решение

Решение.

При $a=b=2$ и $c=d=0$ имеем $S=4.$ Докажем, что это значение наибольшее. Оценим сумму S, добавив к ней неотрицательное число da:

$S=a b плюс b c плюс c d \leqslant левая круглая скобка a b плюс b c правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c d плюс d a правая круглая скобка = левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс d правая круглая скобка .$

Учтём, что $b плюс d=4 минус левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка ,$ и обозначим $x=a плюс c,$ тогда $S меньше или равно x левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка меньше или равно 4.$ Последнее неравенство легко доказывается, поскольку эквивалентно очевидному $0 \leqslant левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате .$ Знак равенства достигается при $a плюс c=b плюс d=2$ и $d a=0,$ то есть $c=2 минус a,$ $d=2 минус b$ и $a d=a левая круглая скобка 2 минус b правая круглая скобка =0.$ Следовательно, наибольшее значение $S=4$ достигается только для четвёрок (a, b, c, d) вида $левая круглая скобка 0, t, 2, 2 минус t правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка t, 2, 2 минус t, 0 правая круглая скобка ,$ где $0 меньше или равно t меньше или равно 2.$