РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5801 Добавить в вариант

Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при выписывании его цифр в обратном порядке (например, числа 4, 55, 626  — палиндромы, а 20, 201, 2016  — нет). Докажите, что любое число вида 2016...2016 (группа цифр 2016 повторена несколько раз) можно представить в виде произведения двух палиндромов.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

$2016 \ldots 2016 = 2016 умножить на 100 010 001 \ldots 01,$

где единицы перемежаются тройками нулей, и число единиц равно числу групп 2016 в исходном числе. Правое число  — палиндром, а левое  — нет. Но $2016=252 умножить на 8$ произведение двух палиндромов. Умножив правое число на один из этих палиндромов, по-прежнему получим палиндром. Отсюда два возможных варианта в общем случае: $25 202 520 \ldots 0252 умножить на 8$ или $800 080\ldots 8 умножить на 252.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

За разложение $2016 умножить на 100 010 001 \ldots 01$  — один балл. Для полного балла достаточно только одного ответа.

Олимпиада Курчатов, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Действия с числами

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь