Дан равнобедренный треугольник ABC. На боковой стороне AB отметили такую точку M, что CM = AC. Затем на боковой стороне BC отметили такую точку N, что BN = MN, и провели биссектрису NH в треугольнике CNM. Докажите, что H лежит на медиане BK треугольника ABC.
В равнобедренных треугольниках ACM и MNB следует, что
и 
Значит,
Таким образом, H является точкой пересечения биссектрис углов AMN и MNC. Поэтому расстояние от H до прямой MN равно расстояниям от H до прямых AB и BC соответственно. Итак, точка H равноудалена от прямых AB и BC, значит, BH — биссектриса угла ABC. А поскольку треугольник равнобедренный, то биссектриса совпадает с медианой.