РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5808 Добавить в вариант

Через точку с координатами (10, 9) проведены прямые (включая параллельные осям координат), которые делят плоскость на углы в 10°. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих прямых с прямой $y=101 минус x.$

Спрятать решение

Решение.

Сдвинем всю картинку на 1 влево. Получим набор прямых, проходящих через точку (9, 9) и пересекающих прямую $y=100 минус x.$ Картинка станет симметрична относительно прямой $y=x,$ поэтому на ней сумма абсцисс равна сумме ординат. Через точку (9, 9) проведено 18 прямых, прямая $y=100 минус x$ пересекает 17 из них. Для каждой точки на прямой $y=100 минус x$ сумма координат равна 100, значит, общая сумма абсцисс и ординат равна 1700, а сумма абсцисс  — вдвое меньше, то есть 850. Однако на симметричной картинке каждая абсцисса на 1 меньше исходной, то есть искомая сумма равна $850 плюс 17=867.$

Ответ: 867.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Не менее одного балла за верный ответ без верного обоснования. Один балл за идею сдвинуть картинку так, чтобы она стала симметричной относительно осей. Пять баллов, если все идеи найдены, но ответ неверный из-за неправильного подсчета количества точек пересечения (например, школьник считает что их 18 или 36).

Олимпиада Курчатов, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь