РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5811 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное n такое, что $синус n градусов = синус левая круглая скобка 2016n градусов правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Из $синус A= синус B$ следует, что $B минус A =360 k в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ или $A плюс B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 360 k в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ где k  — целое. У нас $A=n в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $B=2017 n в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Случай первый. Когда $2015 n=360 k,$ следовательно, $403 n=72 k.$ Поскольку 403 и 72 взаимно просты, то n кратно 72. Значит, наименьшее $n=72.$

Случай первый. Когда $2017 n=180 левая круглая скобка 2 k плюс 1 правая круглая скобка ,$ где 2017n кратно 180. Поскольку 2017 и 180 взаимно просты, то n кратно 180. Значит, наименьшее $n=180.$

Ответ: 72.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Разобран только один случай, но ответ верный — три балла. Разобран случай, дающий ответ 180 — один балл.

Олимпиада Курчатов, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Минимаксные задачи без производной

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь