РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5818 Добавить в вариант

Найдите наименьшее возможное число k такое, что при выборе любых k различных чисел от 1 до 20, среди выбранных чисел гарантированно можно выделить пару различных с простой суммой.

Спрятать решение

Решение.

Очевидно, что 10 чисел недостаточно  — можно выбрать все четные числа и сумма любых двух будет четной, большей двух. Покажем, что при выборе любых 11 чисел найдется пара с простой суммой. Для этого разобьем все числа на пары

$левая фигурная скобка 1, 2 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 3, 8 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 4, 7 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 5, 6 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 9, 14 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 10, 13 правая фигурная скобка левая фигурная скобка 11, 12 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 15, 16 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 17, 20 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 18, 19 правая фигурная скобка .$

В каждой паре сумма чисел простая. При выборе 11 чисел какая-то из пар будет выбрана целиком.

Ответ: $k=11.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Доказано, что 10 чисел недостаточно и что среди 12–13 чисел есть нужная пара — 5 баллов.

Доказано, что среди 11 чисел такая пара найдется — 4 балла.

Доказано, что 10 чисел не достаточно — 3 балла.

Доказано, что среди 12–13 чисел есть нужная пара — 2 балла.

Правильный ответ без обоснования — 1 балл.

Олимпиада Курчатов, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь