РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5819 Добавить в вариант

Найдите все натуральные n такие, что число $8 в степени n плюс n$ делится на $2 в степени n плюс n.$

Решение.

По формуле сокращенного умножения число $8 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс n в кубе$ делится на $2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс n,$ поэтому условие задачи равносильно условию $n в кубе минус n \vdots 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс n.$ Но при $n больше или равно 10$ верно неравенство $n в кубе меньше 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка .$ Осталось перебрать девять вариантов и получить ответ.

Ответ: $n=1, 2, 4, 6.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

За использование неравенства $n в кубе меньше 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка$ при $n больше или равно 106$ без доказательства баллы не снижаются.

Правильный ход решения, но потеряны ответы. Снимать по одному баллу за каждый потерянный ответ.

Установлено, что $n в кубе минус n \vdots 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс n$ или аналогичная делимость, где делимое обычно меньше делителя — 3 балла.

Найдены все ответы без обоснования — 1 балл.

Олимпиада Курчатов, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь