сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Куб со сто­ро­ной 5 сло­жен из 125 ку­би­ков со сто­ро­ной 1. Сколь­ко ма­лень­ких ку­би­ков пе­ре­се­ка­ет плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ная одной из диа­го­на­лей куба и про­хо­дя­щая через ее се­ре­ди­ну?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат так, чтоб куб рас­по­ла­гал­ся в пер­вом ок­тан­те (мно­же­стве точек с не­от­ри­ца­тель­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми) и упо­мя­ну­тая в усло­вии диа­го­наль вы­хо­ди­ла из на­ча­ла ко­ор­ди­нат O. Се­ре­ди­на диа­го­на­ли куба имеет ко­ор­ди­на­ты левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , сле­до­ва­тель­но, ука­зан­ная плос­кость за­да­ет­ся урав­не­ни­ем x плюс y плюс z= дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Рас­смот­рим один из 125 ку­би­ков. Пусть ближ­няя к точке O вер­ши­на имеет ко­ор­ди­на­ты левая круг­лая скоб­ка k, m, n пра­вая круг­лая скоб­ка , где целые числа k, m, n удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ствам 0 мень­ше или равно k, m и n мень­ше или равно 4. Даль­няя от точки O вер­ши­на имеет ко­ор­ди­на­ты левая круг­лая скоб­ка k плюс 1, m плюс 1, n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Таким об­ра­зом, кубик пе­ре­се­ка­ет плос­кость в том и толь­ко в том слу­чае, если

k плюс m плюс n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно k плюс 1 плюс m плюс 1 плюс n плюс 1,

что эк­ви­ва­лент­но усло­вию

k плюс m плюс n при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

При­ни­мая во вни­ма­ние це­ло­чис­лен­ность суммы k плюс m плюс n, по­лу­ча­ем лишь три ва­ри­ан­та: k плюс m плюс n=5, k плюс m плюс n=6 или k плюс m плюс n=7. Вы­чис­лим ко­ли­че­ство ку­би­ков каж­до­го из трех типов.

а)  Если k плюс m плюс n=5. Пе­ре­чис­лим спо­со­бы раз­бить 5 на три сла­га­е­мых, и ука­жем ко­ли­че­ство раз­лич­ных пе­ре­ста­но­вок этих сла­га­е­мых: 0 плюс 1 плюс 4 (6 ре­ше­ний), 0 плюс 2 плюс 3 (6 ре­ше­ний), 1 плюс 1 плюс 3 (3 ре­ше­ния), 1 плюс 2 плюс 2 (3 ре­ше­ния)  — всего 18.

б)  Если k плюс m плюс n=6, то 0 плюс 2 плюс 4 (6 ре­ше­ний), 0 плюс 3 плюс 3 (3 ре­ше­ния), 1 плюс 1 плюс 4 (3 ре­ше­ния), 1 плюс 2 плюс 3 (6 ре­ше­ний),2 плюс 2 плюс 2 (1 ре­ше­ние)  — всего 19.

в)  Если k плюс m плюс n=7. Все такие ку­би­ки сим­мет­рич­ны ана­ло­гич­ным с усло­ви­ем k плюс m плюс n=5 от­но­си­тель­но цен­тра куба  — всего 18.

Итого: 18 плюс 19 плюс 18=55.

 

Ответ: 55.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Пе­ре­се­ка­е­мые ку­би­ки раз­би­ты на три слоя и хотя бы в двух из слоев пра­виль­но вы­чис­ле­но с обос­но­ва­ни­ем ко­ли­че­ство ку­би­ков — 6 бал­лов.

Пе­ре­се­ка­е­мые ку­би­ки раз­би­ты на три слоя и хотя бы в одном из слоев пра­виль­но вы­чис­ле­но с обос­но­ва­ни­ем ко­ли­че­ство ку­би­ков — 5 бал­лов.

Пе­ре­се­ка­е­мые ку­би­ки раз­би­ты на три слоя и хотя бы в одном из слоев пра­виль­но вы­чис­ле­но ко­ли­че­ство ку­би­ков, но обос­но­ва­ние не стро­гое или от­сут­ству­ет — 4 балла.

Пе­ре­се­ка­е­мые ку­би­ки раз­би­ты на три слоя, но даль­ней­ших про­дви­же­ний нет — 3 балла.

При­ве­ден пра­виль­ный ответ без обос­но­ва­ния — 2 балла.

Вы­пи­са­но урав­не­ние плос­ко­сти — 1 балл.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024