Пусть A и B — различные точки, принадлежащие линии пересечения перпендикулярных плоскостей π1 и π2. Точка C принадлежит плоскости π2 но не принадлежит π1. Обозначим через P точку пересечения биссектрисы угла ACB с прямой AB и через ω окружность с диаметром AB в плоскости π1. Плоскость π3, содержащая CP, пересекает окружность ω в точках D и E. Докажите, что CP — биссектриса угла DCE.
Рассмотрим сферу Ω, проходящую через точку C и окружность ω. Плоскость π2 пересекает эту сферу по большой окружности ω2, описанной около треугольника ABC. (Большая окружность — это сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы.) Биссектриса CP треугольника ABC пересекает окружность ω2 в точке F — середине дуги AB. Поскольку 
является большой окружностью, точка F — центр «шапочки», отсекаемой от сферы Ω плоскостью π1. Плоскость π3 проходит через точку F, и дуга DE, лежащая в плоскости π на указанной шапочке, из соображений симметрии делится точкой F пополам. Следовательно, прямая CF, а вместе с ней и CP, является биссектрисой угла DCE.