РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 585 Добавить в вариант

Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств

$система выражений x в кубе минус левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка 5 минус 3a правая круглая скобка x минус 2a плюс 2\leqslant0,x в кубе минус левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка 3 минус 3a правая круглая скобка x\geqslant0 конец системы .$

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Разложим левые части неравенств на множители:

$система выражений x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 5 минус 3 a правая круглая скобка x минус 2 a плюс 2 меньше или равно 0 ,x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3 минус 3 a правая круглая скобка x больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 минус a правая круглая скобка меньше или равно 0,x левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 минус a правая круглая скобка больше или равно 0. конец системы .$ $система выражений x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 5 минус 3 a правая круглая скобка x минус 2 a плюс 2 меньше или равно 0 ,x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3 минус 3 a правая круглая скобка x больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 минус a правая круглая скобка меньше или равно 0,x левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 минус a правая круглая скобка больше или равно 0. конец системы .$

Если a − 1 ⩽ − 3, то решение первого неравенства составляют множества $левая круглая скобка минус бесконечность ; a минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус 2; минус 1 правая квадратная скобка ,$ а решение второго  — множество $левая квадратная скобка a минус 1; минус 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ так что у системы будет единственное решение x  =  a − 1. В случае же a − 1 > − 3 множества решений обоих неравенств содержат отрезок вида $левая квадратная скобка минус 3;b правая квадратная скобка ,$ где в качестве b можно взять, например, наименьшее из чисел −1 и a − 1.

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка .$

Открытая олимпиада вузов Томской области, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Неравенства, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Помощь