РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5869 Добавить в вариант

Синус и косинус некоторого угла оказались различными корнями квадратного трехчлена $ax в квадрате плюс bx плюс c.$ Докажите, что $b в квадрате =a в квадрате плюс 2ac.$

Спрятать решение

Решение.

Ясно, что $a не равно q 0.$ По теореме Виета имеем

$синус альфа плюс косинус альфа = минус дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби , \quad синус альфа умножить на косинус альфа = дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби .$

Возведем первое равенство в квадрат:

$1 плюс 2 синус альфа косинус альфа = дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: a в квадрате конец дроби .$

Подставим в него второе равенство: $1 плюс 2 дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: a в квадрате конец дроби .$ Умножим части на a² и получим $a в квадрате плюс 2ac=b в квадрате .$

Олимпиада Казанского федерального университета, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Действия со степенями, Алгебра. Квадратный трёхчлен, т. Виета

Спрятать решение · Помощь