РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5873 Добавить в вариант

Найдите хотя бы один корень уравнения

$синус левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс тангенс левая круглая скобка 3 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка = синус 6 плюс тангенс 9,$

меньший, чем $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2016 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $y= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x.$ Тогда уравнение перепишется в виде

$синус левая круглая скобка 2 y правая круглая скобка плюс тангенс левая круглая скобка 3 y правая круглая скобка = синус 6 плюс тангенс 9.$

Очевидно, что числа $y=3 плюс Пи k,$ $k принадлежит Z$ являются корнями этого уравнения. Тогда все числа $x=2 в степени левая круглая скобка 3 плюс Пи k правая круглая скобка$ будут решениями исходного уравнения.

Для того, чтобы $x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2016 конец дроби ,$ достаточно чтобы было выполнено

$x меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2048 конец дроби .$

Отсюда $3 плюс Пи k \leqslant минус 11,$ и $k \leqslant минус дробь: числитель: 14, знаменатель: Пи конец дроби .$ Это неравенство имеет место для всех целых $k \leqslant минус 5.$

Ответ: $x=2 в степени левая круглая скобка 3 плюс Пи k правая круглая скобка ,$ $k \leqslant минус 5.$

Олимпиада Казанского федерального университета, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Минимаксные задачи без производной, Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + логарифмы

Спрятать решение · Помощь