Окружность ω с центром в точке I вписана в выпуклый четырехугольник ABCD и касается стороны AB в точке M, и стороны CD — в точке N, при этом 
На прямой MN выбрана точка 
такая, что AK = AM. В каком отношении прямая DI может делить отрезок KN? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.
Пусть P — точка пересечения прямых AB и CD (такая есть по условию, иначе
Тогда треугольник PMN равнобедренный, а значит,
Следовательно, точка K лежит на продолжении отрезка MN за точку M, причем
в частности, треугольники AKM и PNM подобны. Рассмотрим треугольник KAL. Он равнобедренный 
и, следовательно,
Это означает, что отрезки KL и DI параллельны.
Поскольку DI — биссектриса равнобедренного треугольника LDN, то DI делит пополам отрезок LN. Также из условия параллельности ID и KL следует, что DI — средняя линия треугольника KNL, а значит, прямая DI делит отрезок KN пополам.
Ответ: 1 : 1.
или смежных с ними — 1 балла.