Даны положительные действительные числа a, b, c. Известно, что
Докажите, что 
Здесь 
— это натуральный логарифм (логарифм числа x по основанию e).
Воспользуемся следующим известным утверждением. Если на координатной плоскости даны точки с координатами 
и 
то для любого действительного 
точка с координатами 
лежит на прямой, проходящей через и 
Верно также и обратное утверждение: если точка лежит на прямой с начальными двумя, то найдётся такое действительное α, для которого координаты данной точки представляются в искомом виде.
Перейдём теперь к решению задачи. Если 
то всё очевидно. Если 
поделим равенство на 
и перенесём 
в другую часть, получим
Рассмотрим на координатной плоскости две точки 
и 
а также обозначим 
(тогда 
Из утверждения выше следует, что точка B с координатами
и
лежит на прямой AC. Следовательно, точки 
и 
лежат на одной прямой. Но также ясно, что эти точки лежат на графике 
Из свойств функции известно, что графики логарифма и прямой могут пересекаться максимум по двум точкам (как говорят, функция является вогнутой), а это значит, что какие-то два из трёх чисел a, b, c совпадают и
эквивалентно переформулировано в виде того, что какие-то два из чисел a, b, c равны, но это не доказано — 0 баллов;