РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6053 Добавить в вариант

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и $\angle ABC= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 9 конец дроби$ на стороне AB выбрана точка D так, что BD  =  AC. Найдите величину угла DBC (в радианах) и сравните её с 0,18.

Спрятать решение

Решение.

Выбрать внутри треугольника ABC на его высоте точку O, так чтобы треугольник AOC был равносторонним. Далее из равенства треугольников DBC и OCB вытекает $\angle D C B=\angle O B C.$ Поэтому $\angle D C B= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби .$ При этом

$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби меньше 0,18 равносильно Пи меньше 3,24 .$

Ответ: $\angle D C B= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби меньше 0,18.$

Приведем другое решение. Подобные ему способы будут встречаться чаще.

Пусть $A B=B C=a$ и $\angle D C B=\varphi.$ Тогда $A C=B D=2 a синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ и применяя теорему синусов для треугольника BCD, получаем

$дробь: числитель: a, знаменатель: синус левая круглая скобка 160 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \varphi правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 2 a синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: синус \varphi конец дроби .$

Уравнение

равносильно

$синус \varphi=2 синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на синус левая круглая скобка 160 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \varphi правая круглая скобка равносильно синус \varphi=2 синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка синус 20 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус \varphi плюс косинус 20 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус \varphi правая круглая скобка равносильно$
$равносильно синус \varphi= левая круглая скобка косинус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка косинус \varphi плюс левая круглая скобка синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус \varphi равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус \varphi= левая круглая скобка косинус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка косинус \varphi равносильно$
$равносильно тангенс \varphi= дробь: числитель: косинус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби равносильно тангенс \varphi= дробь: числитель: 2 синус 20 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: 2 синус 20 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на косинус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = тангенс 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $синус \varphi=2 синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на синус левая круглая скобка 160 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \varphi правая круглая скобка равносильно$
$равносильно синус \varphi=2 синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка синус 20 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус \varphi плюс косинус 20 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус \varphi правая круглая скобка равносильно$
$равносильно синус \varphi= левая круглая скобка косинус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка косинус \varphi плюс левая круглая скобка синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус \varphi равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус \varphi= левая круглая скобка косинус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка косинус \varphi равносильно$
$равносильно тангенс \varphi= дробь: числитель: косинус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби равносильно тангенс \varphi= дробь: числитель: 2 синус 20 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: 2 синус 20 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на косинус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = тангенс 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $синус \varphi=2 синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на синус левая круглая скобка 160 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \varphi правая круглая скобка равносильно$
$равносильно синус \varphi=2 синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка синус 20 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус \varphi плюс косинус 20 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус \varphi правая круглая скобка равносильно$
$равносильно синус \varphi= левая круглая скобка косинус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка косинус \varphi плюс левая круглая скобка синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус \varphi равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус \varphi= левая круглая скобка косинус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка косинус \varphi равносильно$
$равносильно тангенс \varphi= дробь: числитель: косинус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно тангенс \varphi= дробь: числитель: 2 синус 20 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на синус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: 2 синус 20 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на косинус 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = тангенс 10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Так как угол ϕ острый, то $\varphi=10 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби .$

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Теорема синусов

Спрятать решение · Помощь