РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6059 Добавить в вариант

Что больше: $тангенс 9 градусов минус тангенс 63 градусов плюс тангенс 81 градусов минус тангенс 27 градусов$ или $дробь: числитель: 200, знаменатель: 157 конец дроби Пи ?$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем левое выражение:

$левая круглая скобка тангенс 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус тангенс 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка тангенс 81 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус тангенс 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = минус дробь: числитель: синус 54 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: синус 54 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: косинус 81 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: синус 54 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 81 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2 синус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на косинус 72 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 4 косинус 72 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: 2 косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 4 синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =4 .$ $левая круглая скобка тангенс 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус тангенс 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка тангенс 81 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус тангенс 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= минус дробь: числитель: синус 54 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: синус 54 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: косинус 81 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: синус 54 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 81 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2 синус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на косинус 72 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 4 косинус 72 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: 2 косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 4 синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =4 .$ $левая круглая скобка тангенс 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус тангенс 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка тангенс 81 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус тангенс 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= минус дробь: числитель: синус 54 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: синус 54 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: косинус 81 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: синус 54 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 81 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2 синус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на косинус 72 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: 4 косинус 72 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: 2 косинус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 4 синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =4 .$

Ответ: второе число больше.

Приведем другое решение.

Преобразуем левое выражение:

$левая круглая скобка тангенс 9 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс тангенс 81 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус левая круглая скобка тангенс 63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс тангенс 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка .$

Используя равенства $синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби$ и $косинус 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби ,$ получаем

$2 левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 1 конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 1 конец дроби правая круглая скобка =4.$

Заметим, что

$дробь: числитель: 200, знаменатель: 157 конец дроби Пи =4 умножить на дробь: числитель: 100, знаменатель: 314 конец дроби Пи больше 4.$

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра. Сравнение чисел, Методы тригонометрии. Формулы кратных углов, Методы тригонометрии. Формулы суммы и разности

Спрятать решение · Помощь