РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6063 Добавить в вариант

Множество M_k  — объединение корней уравнений $x в квадрате плюс a_nx минус 4 минус 2a_n=0$ для n  =  1, 2, ..., k. Здесь a_n  — члены арифметической прогрессии, для которой a₂₀  =  59 и a₄₀  =  119. Найти сумму всех чисел из M₁₀₀.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что $x_1, n=2$ является корнем уравнений для всех n и принадлежит M₁₀₀. Поэтому сумма вторых корней $x_2, n= минус 2 минус a_n$ уравнений равна

$S_2= минус 2 умножить на 100 минус \sum_n=1 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка a_n= минус 200 минус дробь: числитель: a_1 плюс a_100, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 100.$

Найдем a₁ и a₁₀₀:

$система выражений a_1 плюс 19 d=59, a_1 плюс 39 d=119 конец системы . \Rightarrow система выражений 20 d=60, 20 a_1=40 конец системы . \Rightarrow a_1=2, d=3 \Rightarrow a_100=2 плюс 3 умножить на 99=299.$ $система выражений a_1 плюс 19 d=59, a_1 плюс 39 d=119 конец системы . \Rightarrow система выражений 20 d=60, 20 a_1=40 конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow a_1=2, d=3 \Rightarrow a_100=2 плюс 3 умножить на 99=299.$

Вычислим:

$S_2= минус 200 минус дробь: числитель: 2 плюс 299, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 100= минус 15 250.$

Тогда $S=2 плюс S_2= минус 15 248.$

Ответ: −15 248.

Олимпиада Росатом, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь