По усло­вию за­да­чи на сто­ро­нах AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC рас­по­ло­же­ны точки D и E так, что и Здесь и Пря­мые CD, BE и ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны A, по­пар­но пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках M, N и P. Нужно найти от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков MNP и ABC (см. рис.).

1.  Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка CAT и се­ку­щей EB:

Вве­дем обо­зна­че­ния: и В этих обо­зна­че­ни­ях преды­ду­щее ра­вен­ство при­мет вид:

2.  Пло­щадь Най­дем от­но­ше­ние пло­ща­дей по­лу­ча­ем

Тогда

3.  Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка BAT и се­ку­щей CD:

С уче­том урав­не­ния (1) и сло­же­ния с (2), по­лу­чим

Под­став­ляя по­лу­чен­ное зна­че­ние от­но­ше­ния в (2), после пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­чим:

и

4.  Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ANE и се­ку­щей MC:

Тогда

5.  От­но­ше­ние пло­ща­дей, после пре­об­ра­зо­ва­ния:

На­ко­нец, объ­еди­няя с пунк­том 2, по­лу­чим

где В нашем слу­чае Под­став­ляя эти зна­че­ния в по­лу­чен­ную фор­му­лу, най­дем

Ответ: 25 : 252.