сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

При каких зна­че­ни­ях a си­сте­ма урав­не­ний

си­сте­ма вы­ра­же­ний |x ко­си­нус a плюс y синус a| плюс |y ко­си­нус a минус x синус a|=1,x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус y плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =0 конец си­сте­мы .

имеет бес­ко­неч­ное число ре­ше­ний?
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пер­вое урав­не­ние си­сте­мы

|x ко­си­нус a плюс y синус a| плюс |y ко­си­нус a минус x синус a|=1

за­да­ет квад­рат. Най­дем урав­не­ния его сто­рон. Для этого рас­смот­рим все­воз­мож­ные слу­чаи рас­кры­тия мо­ду­лей.

Слу­чай 1. Рас­кры­тие мо­ду­лей +, +:

x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус a минус синус a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y левая круг­лая скоб­ка синус a плюс ко­си­нус a пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

После пре­об­ра­зо­ва­ния этого урав­не­ния по­лу­чим

x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

Слу­чай 2. Рас­кры­тие мо­ду­лей +, −:

левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус a плюс синус a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y левая круг­лая скоб­ка синус a минус ко­си­нус a пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

После пре­об­ра­зо­ва­ния этого урав­не­ния по­лу­чим

x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

Слу­чай 3. Рас­кры­тие мо­ду­лей −, +:

минус x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус a плюс синус a пра­вая круг­лая скоб­ка минус y левая круг­лая скоб­ка синус a минус ко­си­нус a пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

После пре­об­ра­зо­ва­ния этого урав­не­ния по­лу­чим

минус x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус y ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

Слу­чай 4. Рас­кры­тие мо­ду­лей −, −:

x левая круг­лая скоб­ка синус a минус ко­си­нус a пра­вая круг­лая скоб­ка минус y левая круг­лая скоб­ка синус a плюс ко­си­нус a пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

После пре­об­ра­зо­ва­ния этого урав­не­ния по­лу­чим

минус x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус y ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

Вто­рое урав­не­ние си­сте­мы x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус y плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =0 за­да­ет пря­мую. Пе­ре­пи­шем это урав­не­ние в виде

минус x дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби =1.

Си­сте­ма урав­не­ний будет иметь бес­ко­неч­ное число ре­ше­ний, если эта пря­мая про­хо­дит через одну из сто­рон квад­ра­та. По­лу­ча­ем че­ты­ре си­сте­мы урав­не­ний для на­хож­де­ния па­ра­мет­ра a:

си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец си­сте­мы . \Rightarrow си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус левая круг­лая скоб­ка a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . \Rightarrow
\Rightarrow левая круг­лая скоб­ка a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k \Rightarrow a= дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс 2 Пи k ;

 

си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец си­сте­мы . \Rightarrow си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . \Rightarrow
\Rightarrow левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k \Rightarrow a= дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс 2 Пи k;

 

си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец си­сте­мы . \Rightarrow си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . \Rightarrow
\Rightarrow левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k \Rightarrow a= дробь: чис­ли­тель: 25 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс 2 Пи k;

 

си­сте­ма вы­ра­же­ний минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец си­сте­мы . \Rightarrow си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус левая круг­лая скоб­ка a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . \Rightarrow
\Rightarrow левая круг­лая скоб­ка a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k \Rightarrow a= дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс 2 Пи k.

Объ­еди­не­ние слу­ча­ев 1−4 дает ответ: a= дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , k при­над­ле­жит Z .

 

Ответ: a= дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , k при­над­ле­жит Z .

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024