РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6073 Добавить в вариант

Арифметическая прогрессия a_n имеет разность d_n  =  −3, арифметическая прогрессия b_n имеет разность d_b  =  4 и b₁  =  3. Доказать, что последовательность c_n  =  a_{b_n} также арифметическая прогрессия. Найти ее разность и наибольшее значение суммы n ее членов, если a₁  =  36.

Спрятать решение

Решение.

Запишем

$c_n=a_b_n=a_1 минус 3 левая круглая скобка b_n минус 1 правая круглая скобка =a_1 плюс 3 минус 3 левая круглая скобка 3 плюс 4 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =a_1 минус 6 минус 12 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$ $c_n=a_b_n=a_1 минус 3 левая круглая скобка b_n минус 1 правая круглая скобка =$
$=a_1 плюс 3 минус 3 левая круглая скобка 3 плюс 4 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =a_1 минус 6 минус 12 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$

Таким образом, c_n  — арифметическая прогрессия с первым членом $c_1=a_1 минус 6=30$ и разностью $d_c= минус 12 .$ Вычислим

$c_2=30 минус 12=18, \quad c_3=18 минус 12=6, \quad c_4=6 минус 12= минус 6.$

Так как $c_4 меньше 0,$ то сумма n ее членов максимальна при $n=3$ и равна $30 плюс 18 плюс 6=54.$

Ответ: 54.

Олимпиада Росатом, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь