РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6079 Добавить в вариант

Знаем, что $a_n$   — арифметическая прогрессия с a₁  =  3 и разностью d  =  2, где S_n  — сумма первых ее n членов. Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c$ такова, что $f левая круглая скобка a_n правая круглая скобка =S_n$ для всех натуральных n. Найти a, b и c.

Спрятать решение

Решение.

Так как $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка$   — арифметическая прогрессия с $a_1=3$ и $d=2,$ то

$a_n=a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =3 плюс 2 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =2 n плюс 1,$

$S_n= дробь: числитель: a_1 плюс a_n, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n= дробь: числитель: 3 плюс 2 n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n= левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка n=n в квадрате плюс 2 n.$

Запишем

$f левая круглая скобка a_n правая круглая скобка =a левая круглая скобка 2 n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс b левая круглая скобка 2 n плюс 1 правая круглая скобка плюс c=4 a n в квадрате плюс левая круглая скобка 4 a плюс 2 b правая круглая скобка n плюс a плюс b плюс c .$

Тогда равенство $f левая круглая скобка a_n правая круглая скобка =\mathrmS_n$ принимает вид

$4 a n в квадрате плюс левая круглая скобка 4 a плюс 2 b правая круглая скобка n плюс a плюс b плюс c=n в квадрате плюс 2 n .$

Так как оно выполняется для всех n, то коэффициенты многочленов равны:

$система выражений 4 a = 1 , 4 a плюс 2 b = 2 , a плюс b плюс c = 0 конец системы . \Rightarrow система выражений a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , b= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , c= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . конец системы .$

Ответ: $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$ $b= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ и $c= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

Олимпиада Росатом, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь