РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6125 Добавить в вариант

Сумма 28218 натуральных чисел равна 2016 · 15, а их произведение  — $левая круглая скобка 2016 в квадрате плюс 15 правая круглая скобка .$ Найдите все возможные наборы таких чисел. В ответе укажите сумму наибольшего и наименьшего из чисел всех найденных наборов. Если таких чисел не существует, то в ответе укажите число 0.

Спрятать решение

Решение.

Из разложения

$2016 в квадрате плюс 15=3 умножить на 19 умножить на 113 умножить на 631$

делаем вывод, в задаче

$система выражений a_1 плюс \ldots плюс a_28218=2016 умножить на 15, a_1 умножить на \ldots умножить на a_28218=2016 в квадрате плюс 15=3 умножить на 19 умножить на 113 умножить на 631, конец системы .$

чисел a_k не равных 1 может быть не более 4 (т. е. не более чем количество простых делителей), поэтому задача равносильна следующей

$система выражений a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4=2026, a_1 умножить на a_2 умножить на a_3 умножить на a_4=3 умножить на 19 умножить на 113 умножить на 631, a_5=a_6=\ldots=a_28218=1. конец системы .$

Решаем последнюю задачу: Набор a₁, a₂, a₃, a₄ состоит из чисел 1, 19,113, 3 · 631.

Остается вычислить $левая круглая скобка 3 умножить на 631 правая круглая скобка плюс 1=1894.$

Ответ: 1894.

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Алгебра. Суммы и произведения, Алгебра. Текстовые задачи на целые числа

Спрятать решение · Помощь